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時代の波は速い

流行に遅れがちな大学院生のブログです。

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新幹線の座席が2列と3列であることを整数問題にしてみる

 

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以前、新幹線の座席についてこんなことをテレビで放送していた記憶があります。

 

 

新幹線の座席は、2列シートと3列シートがあるが、その理由は1人ぼっちになる人がいないようにするため。例えば

2人なら2列×1

3人なら3列×1

4人なら2列×2

5人なら2列×1 + 3列×1

6人なら2列×3(or 3列×2)

7人なら2列×2+3列×1

...

のように、2人以上ならどの人数で乗っても、1人ぼっちになる人がいない。

 

 

これを聞いたとき、ちょっと感動した記憶があります。

 

ところで、この「2人以上なら何人で乗っても1人ぼっちになる人がいない」というのを、数式に証明することはできるのでしょうか?

 

実は高校数学の簡単な整数問題レベルの知識で、この証明をすることができます。

 

高校生の人、特に受験生の人は、一度考えてみてください。

 

...

 

...

 

 

 

では解説をしていきます。

 

この問題、つまりこういうことになります。

2以上の全ての整数nに対して

\begin{equation}
2l + 3m = n
\end{equation}

を満たす0以上の整数l,mが存在することを証明せよ。

 

nが乗る人数、lmがそれぞれ2列シートと3列シートの使用数として考えると、上記のような証明問題として考えることができます。

 

次に、このようなことが思いつくといいでしょう。

 

nが偶数のとき(乗る人数が偶数人のとき)は、みんな2列シートに座ればよい。」

 

例えば8人のときは2列×4のように、みんな2列シートに座ればいいと考えることができます。(2列×1+3列×2のように考えることもできますがここでは置いておきます。)

 

逆にnが奇数のときは、少なくとも1つは3列シートを使う必要があることに気づくでしょう。

 

ということで、nが偶数か奇数かで場合分けします。

 

nが偶数の時

n=2k\ (k=1,2,3...)とすると

2l + 3m = 2k

より

2l = 2k - 3m

ここでm=0とすると

2l = 2k より l = k

よって l=k,m=0とすればよい。

k=1,2,3...より条件を満たす。) 

 

nが奇数の時

n=2k+1\ (k=1,2,3...)とすると

2l + 3m = 2k+1

より

2l = 2k + 1- 3m

ここでm=1とすると

2l = 2k-2 より l = k-1

よって l=k-1,m=1とすればよい。

k=1,2,3...より条件を満たす。) 

 

以上より、

2以上の全ての整数nに対して

\begin{equation}
2l + 3m = n
\end{equation}

を満たす0以上の整数l,mが存在することが証明できました。

 

よって、新幹線には2人以上ならどの人数で乗っても、1人ぼっちになる人がいないということが数式で証明できました。

 

正直、数式を使うほどの問題ではありませんが、身近なところにこういう数学の知識を使ってみるのはちょっと面白いのではないでしょうか。

 

ちなみにこの整数問題は、以下の有名な整数の性質と関係があります。

 

整数a,bが互いに素であるとき

ax+by=1

を満たす整数x,yが存在する。

 

この証明はなかなか面白い(というか受験生なら知っておきたい)ので、知らない人は調べてみましょう。

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